Insiemi, elementi e appartenenza
Prima di calcolare, impariamo a dire con precisione di quali oggetti stiamo parlando.
Disponibile 35–45 minuti con gli eserciziPrima di iniziare: saper riconoscere i numeri naturali. La lezione sui diversi tipi di numeri fornisce il contesto; non servono calcoli avanzati.
Obiettivi: descrivere un insieme, riconoscerne gli elementi, distinguere appartenenza e inclusione e usare correttamente l’insieme vuoto.
1. Una raccolta definita con precisione
Considera i giorni della settimana. Possiamo decidere senza ambiguità se «martedì» appartiene a questa raccolta e se «agosto» ne fa parte. Questa precisione è l’idea da cui partiamo: nel nostro studio elementare, un insieme è una raccolta di oggetti, detti elementi, per la quale è stabilito quali oggetti appartengono alla raccolta.
«I numeri naturali minori di 5» è una descrizione precisa. «I numeri interessanti» non lo è finché non stabiliamo cosa significa interessante. La matematica richiede criteri condivisi, non una valutazione personale.
Gli elementi non devono essere numeri: possono essere lettere, persone, punti geometrici e anche altri insiemi. In questa lezione useremo esempi semplici. Non stiamo ancora costruendo una teoria assiomatica degli insiemi.
Fra i naturali 0, 1, 2, 3, 4, 5 scegliamo quelli minori di 3. Otteniamo 0, 1 e 2. Il 3 resta escluso, perché «minore di 3» non significa «minore o uguale a 3». Una sola parola può cambiare l’insieme.
2. Scrivere un insieme per elenco
Chiamiamo A l’insieme dei naturali minori di 5. Usiamo una lettera maiuscola per il nome e le parentesi graffe per racchiudere gli elementi:
Le virgole separano gli elementi. L’ordine non conta: {1, 2, 3} e {3, 1, 2} sono lo stesso insieme. Anche le ripetizioni non creano nuovi elementi: {1, 1, 2} è lo stesso insieme di {1, 2}. Due insiemi sono uguali quando hanno esattamente gli stessi elementi.
Per un insieme finito, il numero di elementi distinti si chiama cardinalità. A ha cardinalità 5. Possiamo scrivere |A| = 5: in questo contesto le barre indicano quanti elementi contiene A.
Se chiediamo l’insieme delle lettere presenti nella parola, otteniamo {m, a}. Le lettere distinte sono due. Se invece chiediamo quante posizioni occupano le lettere nella parola, la risposta è cinque. Un insieme non conserva né l’ordine né il numero delle ripetizioni di una sequenza.
3. Appartiene oppure non appartiene?
Per dire che 3 è un elemento di A scriviamo 3 ∈ A. Il simbolo ∈ si legge «appartiene a». Per dire che 7 non è un elemento di A scriviamo 7 ∉ A, «non appartiene a».
Un diagramma può aiutare: disegniamo una regione che rappresenta A e collochiamo dentro i suoi elementi. Un numero fuori dalla regione non appartiene ad A.
La posizione dentro l’ovale non indica un ordine o un valore maggiore. Il disegno rappresenta l’appartenenza. Quando gli elementi sono moltissimi o infiniti, un diagramma serve soltanto a illustrare la struttura e non può mostrarli tutti.
4. Descrivere attraverso una proprietà
Un elenco è comodo quando gli elementi sono pochi. Per tutti i naturali pari non possiamo completarlo: non esiste un ultimo naturale pari. Possiamo scrivere {0, 2, 4, 6, …}, oppure specificare direttamente la proprietà richiesta.
Leggiamo: «P è l’insieme degli x appartenenti ai naturali tali che x è pari». La lettera x rappresenta un possibile elemento; ℕ indica i naturali; i due punti si leggono «tale che». Pari significa divisibile per 2 senza resto. Anche 0 è pari, perché 0 = 2 × 0.
Allo stesso modo A = {x ∈ ℕ : x < 5} descrive l’insieme già scritto per elenco. Dire da dove scegliamo gli elementi è essenziale: se scegliessimo negli interi ℤ, fra i numeri minori di 5 troveremmo anche −1, −2 e tutti gli altri negativi.
Sia B = {x ∈ ℕ : 2 ≤ x < 6}. Il simbolo ≤ si legge «minore o uguale». Cerchiamo naturali che siano almeno 2 e strettamente minori di 6. Includiamo 2 ed escludiamo 6: B = {2, 3, 4, 5}.
5. Quando non c’è nessun elemento
Quali naturali sono strettamente minori di zero? Nessuno. La condizione è chiara, ma non è soddisfatta da alcun elemento. Il risultato è l’insieme vuoto, indicato con ∅ oppure {}.
Non confondere ∅ e {0}. Il primo non contiene elementi; il secondo contiene un elemento, il numero zero. Le cardinalità sono rispettivamente 0 e 1.
Anche {∅} ha un elemento: quell’unico elemento è a sua volta l’insieme vuoto. Puoi immaginare una scatola esterna che contiene una scatola vuota: la scatola esterna non è vuota. L’analogia serve a distinguere i livelli, non a definire matematicamente gli insiemi.
6. Un insieme contenuto in un altro
Considera A = {0, 1, 2, 3, 4} e C = {1, 3}. Ogni elemento di C appartiene anche ad A. Diciamo che C è un sottoinsieme di A e scriviamo:
Il simbolo ⊆ significa «è un sottoinsieme di», ammettendo anche il caso di uguaglianza. Perciò A ⊆ A è vero. Se C ⊆ A ma C e A non sono uguali, C è un sottoinsieme proprio di A; lo indichiamo con C ⊊ A.
Per mostrare che un insieme non è un sottoinsieme di A basta trovare un suo elemento che manca in A. Per esempio D = {1, 7} non è un sottoinsieme di A, perché 7 ∉ A. Il fatto che 1 appartenga a entrambi non basta.
L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi insieme: non contiene alcun elemento che possa violare la richiesta «ogni suo elemento deve appartenere ad A». È un caso limite importante, che torneremo a esaminare studiando la logica.
7. Elemento e sottoinsieme non sono la stessa cosa
Con A = {0, 1, 2, 3, 4}, sono vere entrambe queste frasi:
La prima parla del numero 3. La seconda parla dell’insieme il cui unico elemento è 3. Le graffe cambiano l’oggetto di cui parliamo. In A abbiamo elencato numeri, non l’insieme {3}: dunque {3} ∉ A.
Sia E = {1, {2, 3}}. E ha due elementi: il numero 1 e l’insieme {2, 3}. Perciò {2, 3} ∈ E, ma 2 ∉ E. Il 2 appartiene all’insieme interno, non direttamente a E. Non eliminare le graffe interne: cambieresti l’insieme.
8. Esercizi guidati
1. Scrivi per elenco F = {x ∈ ℕ : 1 < x ≤ 4}. Qual è la sua cardinalità?
Suggerimento
Il limite inferiore è escluso; quello superiore è incluso. Prova i naturali uno alla volta.
Soluzione ragionata
F = {2, 3, 4}, |F| = 3. Se hai incluso 1, hai letto < come ≤; se hai escluso 4, controlla il segno a destra.
2. Siano G = {a, b, c} e H = {b, c}. Spiega perché H ⊆ G e perché {b} ⊆ H.
Suggerimento
Controlla gli elementi dell’insieme a sinistra: sono tutti presenti in quello a destra?
Soluzione ragionata
b e c appartengono entrambi a G, quindi H ⊆ G. L’unico elemento di {b} è b, che appartiene a H: quindi {b} ⊆ H. Invece l’appartenenza del singolo elemento si scrive b ∈ H.
9. Esercizi autonomi
Prova su carta e motiva le risposte: leggere una soluzione non equivale a saperla costruire.
3. Quale descrizione è precisa: «i libri belli» oppure «i libri di questa biblioteca pubblicati nel 2020»? Perché?
Soluzione commentata
La seconda, una volta fissata la biblioteca e disponendo dell’anno di pubblicazione. «Belli» richiede un criterio ulteriore: il giudizio può cambiare da persona a persona.
4. {2, 4, 2, 6} e {6, 4, 2} sono uguali? Quanti elementi distinti contengono?
Soluzione commentata
Sì. Contengono entrambi tre elementi distinti: 2, 4 e 6. Ordine e ripetizioni non distinguono due insiemi.
5. Con A = {0, 1, 2, 3}, stabilisci quali frasi sono vere: 0 ∈ A; 4 ∈ A; {1, 3} ⊆ A; {1, 4} ⊆ A; ∅ ⊆ A.
Soluzione commentata
Nell’ordine: vera, falsa, vera, falsa, vera. La quarta è falsa perché 4 manca in A. La quinta è vera perché l’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.
6. Scrivi per elenco i naturali x con 3 < x < 4. Confronta il risultato con {0}.
Soluzione commentata
Non ci sono naturali strettamente fra 3 e 4: il risultato è ∅. Non è {0}, che contiene un elemento e peraltro non soddisfa la condizione.
7. Sia B = {2, {5}}. Quanti elementi ha? Sono vere 5 ∈ B, {5} ∈ B e {2} ⊆ B?
Soluzione commentata
B ha due elementi. Le frasi sono rispettivamente falsa, vera, vera. Il numero 5 non è elencato direttamente; è elencato l’insieme {5}. Il numero 2 appartiene a B, quindi {2} ne è un sottoinsieme.
10. Controllo finale
Senza guardare gli esempi, scrivi un insieme con tre elementi, un suo sottoinsieme proprio e una frase con ∈. Spiega poi la differenza fra ∅, {0} e {∅}.
Come valutare il tuo lavoro
Un possibile esempio è A = {2, 4, 6}, C = {2, 6}, con C ⊊ A e 4 ∈ A. I tre insiemi finali hanno rispettivamente zero, uno e un elemento; negli ultimi due l’elemento è diverso: il numero zero oppure l’insieme vuoto. Se confondi ∈ e ⊆, riprendi le sezioni 6 e 7; se sbagli gli estremi, torna all’esercizio 1.
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