Perché servono numeri diversi?

1. Una sottrazione che non possiamo fare?

I numeri naturali sono 0, 1, 2, 3 e così via. Li usiamo per contare e in questo corso includiamo lo zero. Con due numeri naturali possiamo sempre eseguire un’addizione o una moltiplicazione e ottenere ancora un naturale. Con la sottrazione, invece, nasce un problema.

Non esiste un numero naturale che risponda a questa domanda. Questo non significa che la domanda sia priva di senso: significa che i naturali non bastano. Se su un conto hai 3 euro e registri un addebito di 5 euro, il saldo è −2 euro. Il segno meno indica una posizione rispetto allo zero, in questo caso un debito.

Introduciamo così i numeri interi: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . I naturali restano disponibili; aggiungiamo i loro opposti negativi. Ora 3 − 5 ha come risultato −2.

È utile distinguere il segno di un numero dall’operazione: in 3 − 5 il meno indica una sottrazione; in −2 fa parte della scrittura di un numero negativo.

2. Una divisione che non dà un intero

Gli interi risolvono il problema della sottrazione, ma non ogni divisione ha un risultato intero. Dividere due metri di nastro in tre parti uguali richiede un nuovo tipo di numero.

Ogni parte misura due terzi di metro. Per capirlo, dividi ciascuno dei due metri in tre parti uguali: ottieni sei pezzi da un terzo di metro. Distribuendoli in tre gruppi uguali, ogni gruppo contiene due pezzi, quindi due terzi di metro.

Un numero razionale è un numero che si può scrivere come frazione di due interi, con denominatore diverso da zero. Il denominatore è il numero sotto la linea di frazione; il numeratore è quello sopra. Per esempio 2/3, −5/2 e 7/1 sono razionali.

Gli interi sono quindi anche razionali: 7 = 7/1. Non li abbiamo sostituiti; abbiamo ampliato la famiglia. Inoltre frazioni diverse possono rappresentare lo stesso numero: 1/2 e 2/4 indicano entrambe metà dell’intero.

3. Le frazioni bastano per tutte le lunghezze?

Disegna un quadrato con lato lungo una unità e traccia una diagonale, cioè il segmento che unisce due vertici opposti. Qual è la sua lunghezza?

Il teorema di Pitagora, che studieremo nel percorso di geometria, dice che in un triangolo rettangolo il quadrato del lato opposto all’angolo retto è la somma dei quadrati degli altri due lati. La diagonale divide il quadrato in due triangoli di questo tipo.

Qui d indica la lunghezza della diagonale e d² significa d × d. Cerchiamo dunque un numero positivo che, moltiplicato per se stesso, dia 2. Lo chiamiamo radice quadrata di 2 e lo scriviamo √2.

È compreso fra 1 e 2: infatti 1 × 1 = 1 e 2 × 2 = 4. Per avvicinarci, proviamo 1,4: il suo quadrato è 1,96. Con 1,42 otteniamo 2,0164. La lunghezza è dunque compresa fra questi due valori.

Il fatto decisivo è che √2 non può essere scritto come frazione di interi. Questo richiede una dimostrazione, non basta osservare molte cifre decimali. La affronteremo dopo aver introdotto divisibilità, numeri pari e dispari e ragionamento per assurdo.

Numeri di questo tipo si chiamano irrazionali: non vuol dire che siano illogici, ma che non sono rapporti di due interi. Unendo razionali e irrazionali otteniamo i numeri reali, con cui descriviamo i punti della retta numerica.

4. Quattro famiglie, una dentro l’altra

In matematica una raccolta di elementi definita con precisione si chiama insieme. Studieremo questo concetto nella prossima lezione. Per ora usiamo quattro nomi e quattro simboli:

• ℕ, naturali: 0, 1, 2, 3, …
• ℤ, interi: i naturali e gli interi negativi.
• ℚ, razionali: i numeri esprimibili come frazione di interi, con denominatore non nullo.
• ℝ, reali: razionali e irrazionali.

Il simbolo ⊆ significa «è un sottoinsieme di»: ogni elemento della famiglia a sinistra appartiene anche a quella a destra. Per esempio 4 è naturale, intero, razionale e reale. Non devi scegliere una sola etichetta.

Quando chiediamo la famiglia più piccola fra queste quattro, invece, per 4 rispondiamo ℕ; per −4 rispondiamo ℤ; per 1/2 rispondiamo ℚ. Per √2 rispondiamo ℝ, precisando che è irrazionale.

Non ogni reale è razionale e non ogni razionale è intero. Dire che tutti i gatti sono animali non significa che tutti gli animali siano gatti: anche qui l’inclusione ha un verso.

5. E in fisica?

Per contare eventi rilevati in un esperimento usiamo naturali. Per indicare una posizione a destra o a sinistra di un’origine può servire un segno. Per dividere una durata in parti uguali usiamo frazioni. In geometria e nei modelli fisici incontriamo lunghezze espresse da numeri irrazionali.

Occorre però distinguere il modello dalla misura: possiamo descrivere una diagonale ideale con √2, mentre uno strumento restituisce una misura con precisione limitata. Non leggiamo infinite cifre su un righello.

6. Esercizi guidati

1. Qual è la famiglia più piccola fra ℕ, ℤ, ℚ e ℝ che contiene −7? E quali altre lo contengono?

2. Un compagno dice: «6/3 è una frazione, quindi non è un intero». Ha ragione?

7. Esercizi autonomi

Svolgili su carta prima di aprire le soluzioni. Motiva almeno una risposta con una frase completa.

3. Classifica nella famiglia più piccola 0, −12, 3/4, 8/2 e √2.

4. Trova un numero che sia razionale ma non intero. Trova poi un intero che non sia naturale.

5. Perché 1,5 è razionale? E perché 1,414 non è uguale a √2?

6. «Ogni reale è razionale». Mostra che l’affermazione è falsa con un solo esempio.

8. Prima di continuare

Prova a rispondere senza guardare: quale problema risolvono i negativi? Perché servono le frazioni? Che differenza c’è fra √2 e una sua approssimazione? Perché un numero può appartenere a più famiglie?

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